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Contrôle:
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Méthode des développements asymptotiques raccordés
La méthode la plus célèbre et la plus importante, tant pour son approfondissement mathématique, tant pour le nombre de ses applications, est la méthode des développements asymptotiques raccordés (MDAR). Les idées sousjacentes se sont développées après l’année 1950, année où Friedrichs a mis en œuvre le modèle précédent. Elles ont été ensuite approfondies et appliquées aux équations régissant les écoulements de fluides visqueux.
Parmi les noms les plus importants attachés au développement de la MDAR, on peut citer Kaplun [39], Lagerstrom [41, 42], Cole [15] et Van Dyke [93]. Eckhaus [28, 29] a tenté l’analyse la plus précise sur les fondements de la méthode, avec une importante publication en 1979. Néanmoins, les résultats obtenus à ce jour ne permettent pas de formuler une théorie mathématique de la méthode. En revanche, un certain nombre de règles heuristiques ont été mises en place dont l’application à des problèmes de la physique mathématique et particulièrement en mécanique des fluides a été remarquablement féconde
Similitudes planes
Le plan complexe C est en particulier un modèle de plan vectoriel euclidien. Il bénéficie d'un repère canonique ( 1, i), et par conséquent d'une orientation canonique. Recherchons la forme des transformations linéaires (c'est-à-dire R-linéaires) qui conservent les angles, et plus précisément les angles non orientés. Soit T une telle transformation, donnée au moyen de sa matrice dans la base canonique
Theoreme des residus
Les notions d'arcs, de I-chaines differentiables, de I-cycles se generalisent d'un ouvert de C a une surface de Riemann; il en est de meme de la notion de compact a bord, de celIe de 2-chaine differentiable, de l'integration d'une forme differentielle sur une chaine differentiable et de la formule de Stokes.
L'ANALYSE MATHEMATIQUE donne un ensemble de regles gouvernant la manipulation des limites et des infiniment petits: regles de changement de variables, regles d'interversion de limites, regles de derivation so us Ie signe integrale, etc. On ne peut toutefois reduire I'Analyse a cette gymnastique formeJle sans perdre de vue ses objets principaux et Ie sens meme de sa demarche.
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Les modèles mathématiques
Les modèles mathématiques utilisés en physique conduisent le plus souvent à des problèmes pour lesquels il n’est pas possible de donner une solution explicite. Les solutions numériques sont même parfois difficiles à mettre en œuvre, particulièrement quand de petits paramètres sont présents ou quand les domaines de calcul sont très grands.
Dans de telles situations, on peut tenter d’élaborer des modèles plus simples, soit en annulant un paramètre, soit en se limitant à l’étude d’un domaine plus petit ; les deux simplifications pouvant être combinées. Lorsque l’on annule un petit paramètre, noté de façon symbolique ε, il se peut que la solution du problème initial ne tende pas uniformément vers la solution du problème réduit quand ε → 0. On est alors confronté à un problème dit de perturbation singulière pour lesquels de grandes difficultés mathématiques peuvent se poser.
COURS
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Dérivabilité et opérations
Les formules familières qui relient la dérivation aux opérations algébriques restent valables. Les formules ci-dessous peuvent être regardées comme ponctuelles ou globales, et doivent se comprendre ainsi : si le membre de droite existe, alors le membre de gauche existe et a la valeur indiquée par la formule
Les fonctions holomorphes
Les fonctions holomorphes sur un ouvert D de C sont les fonctions differentiables au sens complexe en tout point de D ; elles sont caracterisees a I'aide d'operateurs differentiels particuliers , d", d'ou leurs proprietes elementaires ; une premiere etude de la fonction logarithme complexe est alors possible. L'integration des formes differentielles est essentielle pour la suite: les formes differentielles de degre 1 et 2 sur un ouvert de C sont definies, ainsi que les ensembles sur lesquels on les integre (chaines differentiables) et la formule fondamentale de Stokes est etablie
réguliers et singuliers
Ce problème est caractéristique d’une perturbation singulière. Ce type de problème sera étudié de façon approfondie dans la suite. Toutefois, le premier problème appelle une remarque. On peut envisager un comportement asymptotique en ε sous la forme d’un développement, d’ailleurs justifié par Poincaré pour ce type d’équation linéaire
On en tire deux choses
On a d'emblée l'ensemble de définition maximum en prenant une représentation irréductible, c'est-à-dire dans laquelle A et B sont premiers entre eux. Nous avons rappelé ces propriétés élémentaires des zéros et des pôles parce que nous les retrouverons dans le cadre général des fonctions holomorphes. On ne peut pas s'évader du monde des fonctions rationnelles par des combinaisons algébriques. Au chapitre suivant, nous verrons comment l'analyse permet d'inventer des fonctions nouvelles.
FONCTIONS HOLOMORPHES
Par application de la formule integrale de Cauchy sur Ie bord d'un disque, puis sur Ie bord d'une couronne, on obtient Ie developpement (de Taylor) en serie entiere en Z-Zo d'une fonction holomorphe au voisinage d'un point Zo et Ie developpement en serie de Laurent d'une fonction holomorphe dans un disque prive de son centre.
Les formules familières qui relient la dérivation aux opérations algébriques restent valables. Les formules ci-dessous peuvent être regardées comme ponctuelles ou globales, et doivent se comprendre ainsi : si le membre de droite existe, alors le membre de gauche existe et a la valeur indiquée par la formule
Les fonctions holomorphes
Les fonctions holomorphes sur un ouvert D de C sont les fonctions differentiables au sens complexe en tout point de D ; elles sont caracterisees a I'aide d'operateurs differentiels particuliers , d", d'ou leurs proprietes elementaires ; une premiere etude de la fonction logarithme complexe est alors possible. L'integration des formes differentielles est essentielle pour la suite: les formes differentielles de degre 1 et 2 sur un ouvert de C sont definies, ainsi que les ensembles sur lesquels on les integre (chaines differentiables) et la formule fondamentale de Stokes est etablie
réguliers et singuliers
Ce problème est caractéristique d’une perturbation singulière. Ce type de problème sera étudié de façon approfondie dans la suite. Toutefois, le premier problème appelle une remarque. On peut envisager un comportement asymptotique en ε sous la forme d’un développement, d’ailleurs justifié par Poincaré pour ce type d’équation linéaire
On en tire deux choses
On a d'emblée l'ensemble de définition maximum en prenant une représentation irréductible, c'est-à-dire dans laquelle A et B sont premiers entre eux. Nous avons rappelé ces propriétés élémentaires des zéros et des pôles parce que nous les retrouverons dans le cadre général des fonctions holomorphes. On ne peut pas s'évader du monde des fonctions rationnelles par des combinaisons algébriques. Au chapitre suivant, nous verrons comment l'analyse permet d'inventer des fonctions nouvelles.
FONCTIONS HOLOMORPHES
Par application de la formule integrale de Cauchy sur Ie bord d'un disque, puis sur Ie bord d'une couronne, on obtient Ie developpement (de Taylor) en serie entiere en Z-Zo d'une fonction holomorphe au voisinage d'un point Zo et Ie developpement en serie de Laurent d'une fonction holomorphe dans un disque prive de son centre.
Un grand nombre de theoremes fondamentaux en decoulent tres simplement : theoreme d'identite (ou principe du prolongement analytique), inegalites de Cauchy, theoreme de Liouville, principe du maximum, lemme de Schwarz. Le developpement de Taylor d'une fonction holomorphe dans un disque permet I'approximation d'une fonction holomorphe par des polynomes holomorphes,